Presentaré una estrategia de transformación de la enseñanza aplicada entre 2013 y 2017 en el curso de Matemática de la carrera de Arquitectura en la Facultad de Arquitectura Diseño y Urbanismo de la Universidad de la República, articulada en torno a los siguientes ejes: organización del aula en equipos de trabajo y enseñanza activa; contextualización de la Matemática en la formación del estudiante; atención a los aspectos afectivos y de vínculo en clase; aplicación de un sistema de evaluación con instancias individuales, grupales, autoevaluación y evaluación por pares, que ofrece oportunidades de revisión del trabajo; diversificación de la oferta de actividades; sistematización de la gestión y organización de los cursos; retroalimentación de la toma de decisiones a partir del seguimiento de los cursos, el análisis de las características de la población estudiantil y la evaluación de las políticas implementadas.
Se constató una importante mejora del rendimiento de los estudiantes, evidenciada en la reducción del tiempo empleado en aprobar el curso de Matemática. Por otra parte, en las entrevistas realizadas, los estudiantes expresan satisfacción con los dispositivos grupales y por la mejor vinculación de los temas del curso con otros contenidos de su formación.
Se discutirán también avances de resultados de la implementación del nuevo plan de estudios 2015, en el que ya ningún curso de Matemática es obligatorio, pero los estudiantes deben completar seis créditos en esta disciplina, escogiendo al menos uno de tres cursos con objetivos generales comunes pero objetivos específicos y contenidos netamente diferenciados.
Se presentarán algunos análisis prospectivos acerca de posibles líneas de profundización de la experiencia, que incluyen el desarrollo de programas de tutoría entre pares, la implementación de nuevos sistemas de orientación, seguimiento y apoyo a los estudiantes, la intervención sobre las estrategias de recursado de los estudiantes y el desarrollo de líneas de investigación sobre núcleos específicos de problemas emergentes de este programa de acciones.
A compact metric space X is said to be an absolute neighborhood retract (ANR) if every continuous map from a closed subset K of a compact space Y to X can be extended to a neighborhood of K. This is a weak form of injectivity in the category of compact, metric spaces. Every manifold is an ANR, but not every space is an ANR.
To X we associate algebra C(X) of continuous complex-valued functions on X. This is a C*-algebra with the supremum norm and pointwise operations. The categories of compact, metric spaces, and the category of commutative, unital, separable C*-algebras are (contravariantly) equivalent. In this sense, we think of C*-algebras as "noncommutative topological spaces". Using this correspondence to translate the concept of an ANR to (noncommutative) C*-algebras, we obtain a weak form of projectivity in the category of C*-algebras, called semiprojectivity. Thus, we think of semiprojective C*-algebras as the noncommutative absolute neighborhood retracts.
A long-standing question asked to determine, in terms of X, when C(X) is semiprojective among all C*-algebras. Clearly X must be an ANR, but is that sufficient? Surprisingly, a dimensional restriction appears. We show that the following are equivalent:
(1) C(X) is a semiprojective C*-algebra.
(2) X is an ANR and its covering dimension is at most one.
Uno de mis mayores caprichos de este año fue buscar conexiones entre aspectos puramente determinísticos, como lo es la teoría de conectividad de redes, y otros puramente probabilísticos, como la confiabilidad de redes.
La teoría extremal de grafos provee comunión entre ambos mundos. Como parte del corto camino trazado, se reconceptualizan trabajos de Gustav Kirchhoff, Frank Harary y Klaus Wagner.
Si esta charla sirve como excusa para admirar verdaderas contribuciones científicas que conforman la historia, o al menos para notar que el lenguaje con el que estos investigadores comunicaron sus trabajos es extremadamente simple, el tiempo nos habrá valido la pena.
El estudio de las raíces de ecuaciones y de ceros de funciones es uno de los más antiguos y transversales en la matemática. Hace cinco siglos Cardano, Tartaglia, Ferrari entre otros dieron algoritmos (y fórmulas) para hallar las raíces de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hace dos siglos, Ruffini, Abel y Galois probaron la imposibilidad de expresar mediante radicales las soluciones de ecuaciones generales de quinto o mayor grado.
Ya en el siglo XX, una de las formas de abordar el problema se expresa de la forma ¿dónde se ubican las raíces de una ecuación típica?, ¿cuántas raíces reales tiene una ecuación típica?, etc.
Estas preguntas son ambiguas, ¿qué quiere decir típico?. En la década de 1930 comenzó el estudio de los ceros de polinomios aleatorios por Bloch, Pólya, Kac, Littlewood, Offord, etc. De esta forma, a grandes rasgos, se entiende por típico el promedio. De más está decir que desde entonces la literatura en el tema no ha parado de crecer.
La charla está orientado a todo público. En ella se hará un recorrido por diferentes problemas vinculados a los ceros de polinomios y ondas aleatorios (número y ubicación, longitud y geometría de las curvas de nivel, etc) mostrando algunos resultados clásicos y también algunos recientes.
Las dendritaciones son una generalización de foliaciones singulares en superficies desde el punto de vista de la teoría de continuos. El ejemplo base es la foliación estable de un difeomorfismo seudo Anosov. El objetivo de la charla es explicar la definición de esta estructura, dar ejemplos, resultados generales y mostrar aplicaciones al estudio de homeomorfismos con alguna forma de expansividad.
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<h3class="title">"La distancia de Gromov-Hausdorff, programación semidefinida y deep learning"</h3>
Resumen: La distancia de Gromov-Hausdorff, definida en el conjunto de espacios métricos compactos modulo isometrías, fue introducida por Gromov como herramienta para probar su célebre teorema sobre crecimiento de grupos. Desde el punto de vista computacional, calcular la distancia de Gromov-Hausdorff es un problema difícil, incluso en espacios métricos finitos. En esta charla se explicará una técnica llamada programación semidefinida, y cómo utilizarla para aproximar localmente la distancia de Gromov-Hausdorff en espacios métricos finitos. Tambien se discutirán las propiedades topológicas de la distancia aproximada.
Si el tiempo es suficiente se discutirá la aplicación nuevas técnicas, conocidas como 'deep learning' que muestran buenos resultados en la práctica pero su marco teórico es un problema abierto.
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<h3class="title">"Hacia nuevos modelos para la lógica y la matemática"</h3>
La teoría de modelos tiene un papel muy importante en lógica, en la medida en que permite demostrar la consistencia o la independencia de algunos axiomas de la matemática (axioma de elección, hipótesis del continuo) relativamente a sistemas bien establecidos. El objetivo de esta charla (con destino a matemáticos no especialistas en lógica) es presentar los conceptos y problemas fundamentales de la teoría de modelos, así como algunas de las herramientas más avanzadas que se desarrollan en Montevideo.
En una primera parte, recordaremos el marco fundamental de los modelos de Tarski (basados en el álgebra de Boole con dos elementos), así como algunas paradojas que surgen naturalmente en tal marco, a pesar de su simplicidad. Luego, mostraremos cómo se puede extender la noción de modelo, cambiando la noción de valor de verdad subyacente, e ilustraremos el interés de tal cambio con algunos ejemplos. Al final, presentaremos la noción de álgebra implicativa desarrollada en Montevideo, así como las perspectivas para la teoría de modelos.
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<h3class="title">"Sobre la conjetura de Mc.Duff sobre la C1 minimalidad de los conjuntos de Cantor"</h3>
¿Es posible componer de forma automática música con determinado "estilo"? En esta charla se presentarán algunas herramientas que procuran capturar los rasgos comunes de un conjunto de obras musicales y utilizar lo aprendido para generar aleatoriamente nuevas composiciones. Veremos (y escucharemos) algunos de los resultados.
La charla está orientada a un público en general, aunque se recomienda tener nociones de probabilidad y estadística (correspondientes a un primer curso de probabilidad).
La noción de promediabilidad para grupos topológicos fue introducida por von Neumann en el contexto de la paradoja de Banach-Tarski, y desde entonces ha tenido muchas aplicaciones, fundamentalmente en análisis armónico y álgebras de operadores. En teoría ergódica, promediabilidad está íntimamente relacionada con el lema de Rokhlin. En esta dirección, Ornstein-Weiss y Dye demostraron que cualquier dos acciones libres y ergódicas de un grupo promediable en un espacio de probabildiad estándar (como el intervalo), son orbitalmente equivalentes. Es decir, acciones de grupos promediables son muy flexibles. El caso de acciones de grupos no promediables es mucho más rígido: varios resultados parciales en la literatura culminaron en el siguiente teorema de Epstein e Ioana: todo grupo no promediable admite una cantidad no numerable de acciones libres y ergódicas en un espacio de probabilidad estándar que no son orbitalmente equivalentes.
Un problema de Halmos pregunta si existe un método específico que, dadas dos acciones (libres y ergódicas) de un grupo, permite determinar si ellas son orbitalmente equivalentes. Para grupos promediables, la respuesta es sencilla: siempre lo son. Para grupos no promediables, esta pregunta cobra más sentido en el contexto de complejidad de Borel: cuán compleja es la relación de equivalencia orbital para acciones de grupos no promediables? En colaboración con Martino Lupini (Caltech), hemos respondido esta pregunta: la relación de equivalencia orbital (como subconjunto del espacio producto) no es Borel. Es decir, no existe ningún método específico que permita determinar si dos acciones de un grupo no promediable son orbitalmente equivalentes. Nuestras técnicas provienen del álgebra de operadores y son esencialmente analíticas, y demuestran la rica interacción existente entre las C*-álgebras y álgebras de von Neumann, por un lado, y la teoría ergódica, por el otro.
La idea del curso es, mediante ejemplos, clasificar desde el punto de vista topológico los conjuntos minimales para un sistema de funciones iteradas en S1
Se daran las definiciones básicas ( muy poca teoría), se construirán muchos ejemplos y se discutirá
la diferencia entre un sistema dinámico usual y un sistema iterado de funciones. El único
prerrequisito es tener aprobado el curso de topología de la licenciatura en matemática.
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<h3class="title">"PML, a new proof assistant"</h3>
Proof assistants allow to write and verify mathematical proofs or software using a computer. Many are available around the world (Coq, Agda, PVS, NuPrl, ...) and PML is the one we are developing. Why do we need one more?
I will present PML features, gradually and illustrated with examples explaining why it is different (and hopefully better) than the other proof assistants.
La complejidad de un algoritmo es el número de pasos requeridos para pasar de un input a un output. El conocimiento de este número nos permitiría comparar distintos métodos y poder determinar cuáles son más eficientes. Sin embargo el estudio de la complejidad es un tema muy compicado del cuál se sabe muy poco, aún en problemas básicos como encontrar raíces de polinomios o valores propios de matrices. En esta charla daremos un paseo por distintos problemas y métodos, discutiendo en cada caso qué se sabe (o no se sabe) sobre la complejidad. A su vez mostraremos cómo este problema motiva preguntas interesantes en las distintas áreas de la matemática.
<p><ahref="https://vimeo.com/206030280">IC16: IMAGINARY in Uruguay - Diego Armentano and Mariana Pereira</a> from <ahref="https://vimeo.com/imaginaryopenmathematics">IMAGINARY</a> on <ahref="https://vimeo.com">Vimeo</a>
