Observando Poliedros con una mirada moderna"
Angel Pereyra - CMAT
El estudio de los poliedros empezó en la antigüedad. Ciertamente en la época de Euclides
ya se conocían todos los poliedros convexos regulares -los sólidos platónicos-,
pero la noción de regularidad no se habían explorado en profundidad.
Con el paso del tiempo se fueron descubriendo otras familias de bellos poliedros con regularidades
menos exigentes que las de los sólidos platónicos. En este cursillo se pretende mostrar cómo ciertas
nociones básicas de la matemática moderna (grupos de simetría, acciones, dualidad, etc.) iluminan a esas familias de poliedros.
"Sobre el trabajo de Maryam Mirzakhani"
Andrés Sambarino - CNRS
En julio 2014 M. Mirzakhani (Teherán 1977- Stanford 2017) se convierte en la primer mujer en ganar la medalla Fields. El objetivo del mini-curso es dar un panorama general (orientado a un público no especializado en el área) sobre algunos trabajos que la llevaron a ganar este premio. El contexto cae dentro de la Teoría de Teichmüller, punto de intersección entre el Análisis Complejo, los Sistemas Dinámicos y la Geometría Diferencial.
"Introducción a las álgebras de Lie"
Ana Gonzalez - IMERL
En el año de 1873, Sophus Lie dio origen a las ideas que conforman la hoy
denominada teoría de Lie, con aportes posteriores de Weyl, Cartan, Chevalley, Killing,
Serre, Harishchandra y otros. En los primeros trabajos de Lie, la idea subyacente era
construir una teoría de “grupos continuos”, que complementara la ya existente teoría de
grupos discretos. La aplicación inicial que Lie tenía en mente era en ecuaciones diferen-
ciales. El objetivo era desarrollar una teoría capaz de unificar el estudio de las simetrías
en el área de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Si bien continúo su desarrollo en otra
dirección, esta teoría juega un papel fundamental en el álgebra contemporánea. Él ob-
servó que las simetrías de una ecuación diferencial daban lugar a grupos con parámetros
(hoy considerado un grupo de Lie). Los “grupos” y conjuntos con los que trabajaba
en general, no eran grupos de Lie en realidad, dado que la estructura de grupo estaba
definida sólo localmente cerca de la identidad. De todos modos, todo grupo local admite
un álgebra de Lie, que a su vez se integra a un grupo global. Fue Weyl (1924) quien por
primera vez estudió sistemáticamente grupos definidos globalmente.
Los aportes fundamentales que Lie realizó fueron el asociar a cada grupo de transfor-
maciones continuas una álgebra de Lie y el definir una aplicación del álgebra de Lie al
grupo de Lie por medio de grupos monoparamétricos.
Las aplicaciones del trabajo de Lie a otras ciencias comprenden Física, Ingeniería y
economía y finanzas por ejemplo. En particular los grupos y las álgebras de Lie son
muy utilizados actualmente como herramientas en el estudio de las simetrías, no sólo de
las clásicas en el espacio-tiempo, sino en las nuevas asociadas con los grados de libertad
interna de las partículas y de los campos, así como también en la teoría de super-cuerdas.
El objetivo de este curso es abordar la teoría de Lie, comenzando desde una intro-
ducción de la teoría básica del álgebra abstracta, hasta llegar a los resultados buscados
en las álgebras de Lie. Fianlizaremos dando algunas aplicaciones en Física y economía y finanzas.
"Un paseo por la optimización"
Marcelo Fiori - IMERL
Un problema de optimización es encontrar el mínimo de una función f sobre un conjunto X, así como el x* donde se alcanza. Vamos a comentar algunos aspectos teóricos y algunos métodos de optimización (es decir, sucesiones definidas en X que convergen a x*), y con esto como excusa, vamos a recorrer diferentes áreas y aplicaciones, desde estimadores de máxima verosimilitud a métricas riemannianas, pasando por grafos, flujos de gradiente, y valores propios.