We would like to describe how the modern methods of symplectic topology, such as pseudo-holomorphic curve theory, can be used to study celestial mechanics. Particular emphasis will be given to the planar circular restricted three-body problem. When the value of the Jacobi constant is high enough, components of the energy level covering a bounded Hill region are amenable to both Levi-Civitta or Moser regularization. Both schemes yield contact-type energy levels, allowing for the use pseudo-holomorphic curves. We will address a conjecture of Birkhoff asserting that the lift of a retrograde orbit via Levi-Civita bounds a disk-like global surface of section, and describe a version of the Poincare-Birkhoff theorem for Reeb flows which applies in the presence of a Hopf link of periodic orbits. If time permits we shall describe general results on the existence of genus zero global surfaces of section.
Se presenta un enfoque simplificado del problema de obtener la mecánica clásica a partir de una ecuación de difusión. Al final presentaremos una lista de ejemplos que incluye: el comportamiento de una partícula en un campo electromagnético y también una aproximación informal al comportamiento de la solución de la ecuación de onda, en el límite de altas frecuencias.
De manera informal, estudiar geometría en un conjunto X significa fijar un grupo G de biyecciones e investigar qué propiedades permanecen invariantes bajo la acción de elementos de G. Si X admite estructura adicional (espacio topológico, variedad diferenciable, variedad algebraica, etc), se puede elegir G=G_X como siendo constituido por los isomorfismos en relación a dicha estructura (resp. homeomorfismos, difeomorfismos, automorfismos, etc). Si X es una variedad algebraica, en la topología subyacente de X todo abierto no vacío es esencialmente denso, por lo tanto dos automorfismos que coincidan en un abierto son iguales, i.e., la estructura geométrica de X es muy rígida. Por lo tanto, si se quieren entender propiedades de X que sean de naturaleza local (y entonces globales salvo en un conjunto "pequeño") en natural permitir que G_X contenga aplicaciones del tipo Φ:U V, con Φ isomorfismo y U, V dos abiertos densos de X; en términos algebraicos, y expresándose de modo impreciso, eso corresponde a estudiar propiedades de un dominio de integridad que sólo dependen de su cuerpo de fracciones. En este caso estamos estudiando la llamada Geometría Birracional de X.
En esta charla, en la cual no pretendemos entrar en tecnicismos y en general argumentaremos utilizando conceptos básicos de álgebra y geometría, y apelando a la intuición, comenzaremos dando nociones generales sobre Geometría Birracional y una muy somera descripción del problema de clasificación de los pares (X,G_X), objeto de intensa investigaci\'on actualmente. Luego nos concentraremos en el caso en que X es una variedad lineal, que como veremos, su simplicidad contrasta con el hecho de que su geometría birracional (i.e. G_X) sea la más complicada, y casi completamente desconocida si X tiene dimensión mayor que dos. También veremos aplicaciones al estudio de foliaciones holomorfas y derivaciones en anillos de polinomios.
